Главная - Астрономия - Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии


Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии
Наука - Астрономия

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников.

Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам.

Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180±. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180±, но меньше 540±, а сумма сторон всегда меньше 360±. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180± называется сферическим избытком s , т.е.

s  = ETH;A +  ETH;B + ETH;C - 180±.

Площадь сферического треугольника s равна

,

где R - радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя.

Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О.

Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем:

DE2 = OD2 + ОЕ2 - 2OD times; ОЕ times; cos a,

DE2 = AD2 + АЕ2 - 2AD times; АЕ times; cos A.

Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD times; ОЕ times; cos a = OD2 - AD2 + ОЕ2 -  АЕ2 + 2AD times; АЕ times; cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует:

OD2 -  AD2 = R2;   OE2 -  AE2 = R2;

AD = R tg b ;   АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b:

cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B

и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим

cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B.

Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь:

cos b (l - cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B.

Заменив (1 - cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b - cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется

произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус

третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий

угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой

стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В.

Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A :

Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем

откуда

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90±; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим

sin a cos В = sin с cos b.

Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь:

ctg B = sin c ctg b

или

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

 


Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Планеты соседи:

Меркурий

News image

Меркурий - самая близкая к Солнцу планета. Среднее расстояние от Ме...

Солнечная атмосфера

News image

Вся солнечная атмосфера постоянно колеблется. В ней распространяются как ...

Фотосфера

News image

Видимая поверхность Солнца. Достигая толщины около 0,001 RD (200-300 км), пл...

Меркурий. Исследование планеты

News image

Небольшая величина Меркурия и его постоянная близость к Солнцу делают эт...

В космосе...

В сердце туманности Тарантула

News image

Расположенная вблизи Большого Магелланова Облака, 30 Doradus – одна из самых больших массивных областей формирования звёзд рядом с галактикой Млечный Пу...

В прошлом почти все галактики сталкивались с соседями

News image

Группа астрофизиков, анализировавшая данные телескопа Хаббл , пришла к выводу, что практически все крупные галактики в прошлом претерпели слияние с ...

Бомбу замедленного действия нашли в космосе

News image

Астрономы из Европейской южной обсерватории (ESO) обнаружили космическую бомбу замедленного действия - двойную систему, в которой один из компаньонов, белый ка...

В сентябре Розетта встретится с астероидом (2867) Ste

News image

Продолжается полет европейского межпланетного зонда Rosetta, задачей которого станет изучение кометы 67/P Churyumov-Gerasimenko. До цели лететь еще долго, а пока ко...

Авторизация



Новости космонавтики:

О лазерной эпиляции

News image

Лазерная эпиляция – так называется технология, которая помогает полностью разрушить волосяные фолликулы благодаря световому излучению. Современные лазеры достаточно мощные, поэтому можно уменьшить количество сеансов, что нельзя ...

Сайты букмекерских контор готовы поделит

Букмекерские конторы строят собственную методику оборота денег, которая основывается на, различного рода, секретных деталях. Стоит признать тот факт, что, если бы все знали секреты букмекеров, ...

Такси-минивэн

News image

Удлиненная машина с большим количеством мест окажется незаменимым, когда необходимо перевозить группу пассажиров на небольшое расстояние. Минивэн замечательно подойдет, чтобы встретить гостей в аэропорту, устроить ...

Ремень на стиральную машину

News image

Почему на стиральной машине изнашивается ремень? Такая неисправность появляется по разнообразным причинам. Прежде всего, нужно сказать, что ремень невероятно быстро изнашивается в узких моделях. Подобное явление ...