Главная - Астрономия - Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии


Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии
Наука - Астрономия

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников.

Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам.

Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180±. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180±, но меньше 540±, а сумма сторон всегда меньше 360±. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180± называется сферическим избытком s , т.е.

s  = ETH;A +  ETH;B + ETH;C - 180±.

Площадь сферического треугольника s равна

,

где R - радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя.

Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О.

Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем:

DE2 = OD2 + ОЕ2 - 2OD times; ОЕ times; cos a,

DE2 = AD2 + АЕ2 - 2AD times; АЕ times; cos A.

Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD times; ОЕ times; cos a = OD2 - AD2 + ОЕ2 -  АЕ2 + 2AD times; АЕ times; cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует:

OD2 -  AD2 = R2;   OE2 -  AE2 = R2;

AD = R tg b ;   АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b:

cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B

и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим

cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B.

Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь:

cos b (l - cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B.

Заменив (1 - cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b - cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется

произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус

третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий

угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой

стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В.

Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A :

Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем

откуда

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90±; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим

sin a cos В = sin с cos b.

Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь:

ctg B = sin c ctg b

или

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

 


Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Планеты соседи:

Юпитер. Спутники

News image

Юпитер имеет 16 спутников. Первые 4 спутника открыты еще Галилеем - ...

Солнечное пятно

News image

Солнечное пятно - область на Солнце, где температура ниже  (области с ...

Меркурий. Строение планеты

News image

С помощью Маринера-10 у Меркурия была обнаружена атмосфера. Дл...

Марс. Общие сведения

News image

Марс - четвертая планета Солнечной системы. По основным физическим характеристикам Ма...

В космосе...

Рейтинг пригодных для обитания мест Солнечной системы

News image

Астрофизик Абель Мендес из Университета Пуэрто Рико предложил новую систему оценки обитаемости космических тел. С ее помощью он составил список на...

Первые образцы межзвездной пыли

News image

Американский космический зонд Stardust доставил на Землю первые в истории образцы межзвездной космической пыли. Эта пыль является строительным материалом видимой Вс...

Сверхновая взрывается за пылевой прослойкой в галактике

News image

На фотографиях показан взрыв сверхновой 1986G за пылевой прослойкой в галактике Центавр А на расстоянии порядка 13 млн. световых лет. Оба ...

Прошлое Марсианских океанов исследовали ученые

News image

Ученые получили новые доказательства существования океанов на Марсе в далеком прошлом, сообщает New Scientist. Это открытие стало возможным благодаря данным, со...

Авторизация



Новости космонавтики:

Охранное предприятие

News image

Если вы решили выбрать охранную компанию, чтобы защитить ваш дом либо бизнес необходимо очень внимательно оценивать работу каждой организации. Когда выбираете охранное агентство, получается, что ...

Стабилизированная роза в колбе

News image

Самым популярным подарком в 2017-м году стали живые розы, помещенные под стеклянную колбу. Сейчас мы немного расскажем, что такое стабилизированные цветы и в чем заключается их...

QIWI Кошелек

News image

В завершении 2007-го года на всех терминалах QIWI  решили запустить совершенно новый сервис, он получил название как «Личный кабинет», но со временем его переименовали и теперь ...

Дверной доводчик

News image

Устройство Такое устройство необходимо чтобы двери могли автоматически закрываться/открываться. Многие модели доводчиков это гидромеханическое устройство. Они представляют герметично закрытую коробку, она наполнена маслом и некоторыми ...