Главная - Астрономия - Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии


Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии
Наука - Астрономия

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников.

Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам.

Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180±. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180±, но меньше 540±, а сумма сторон всегда меньше 360±. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180± называется сферическим избытком s , т.е.

s  = ETH;A +  ETH;B + ETH;C - 180±.

Площадь сферического треугольника s равна

,

где R - радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя.

Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О.

Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем:

DE2 = OD2 + ОЕ2 - 2OD times; ОЕ times; cos a,

DE2 = AD2 + АЕ2 - 2AD times; АЕ times; cos A.

Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD times; ОЕ times; cos a = OD2 - AD2 + ОЕ2 -  АЕ2 + 2AD times; АЕ times; cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует:

OD2 -  AD2 = R2;   OE2 -  AE2 = R2;

AD = R tg b ;   АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b:

cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B

и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим

cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B.

Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь:

cos b (l - cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B.

Заменив (1 - cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b - cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется

произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус

третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий

угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой

стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В.

Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A :

Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем

откуда

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90±; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим

sin a cos В = sin с cos b.

Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь:

ctg B = sin c ctg b

или

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

 


Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Планеты соседи:

Нептун. Общие сведения

News image

Нептун - восьмая по счету планета Солнечной системы. Средняя удаленность Не...

Фотосфера

News image

Видимая поверхность Солнца. Достигая толщины около 0,001 RD (200-300 км), пл...

Строение Солнца

News image

ЯДРО - где температура в центре равна 27 м...

Меркурий

News image

Меркурий - самая близкая к Солнцу планета. Среднее расстояние от Ме...

В космосе...

У Сатурна обнаружили новое гигантское кольцо

News image

Астрономам удалось обнаружить у Сатурна еще одно, ранее неизвестное кольцо. Об этом сообщается в пресс-релизе на сайте космического телескопа Spitzer, с ...

Мой взгляд на космические журналы. Космонавт У Цзе о «Н

News image

Уже достаточно давно у меня сформировалось определенное отношение к космическим журналам. В 1997 г. я приехал учиться в российский Центр по...

Cуборбитальные полеты за 95 тысяч долларов

News image

Американская туристическая компания RocketShip Tours объявила первые тарифы на суборбитальные туристические полеты, сообщается в пресс-релизе на ее официальном сайте. В ка...

Обнаружены 12 новых пульсаров

News image

Пульсары представляют собой вращающиеся нейтронные звезды, которые могут испускать излучение с различными длинами волн, приходящее на Землю в виде достаточно ко...

Авторизация



Checoutk eth to usd calculator converter online

Новости космонавтики:

Варіанти весілля у Буковелі за доступним

News image

Досі у роздумах, чи їхати на відпочинок до Карпат? Можливо, інформація у цій статті дозволить легше зробити вибір. Зробити повторну подорож Карпатами практично неможливо. Краса ...

Клінінг у Львові за доступними цінами (Ч

Своєчасне прибирання у власному житлі важливе не лише для приємного вигляду інтер’єру, але і здоров’я його жителів. Для практично будь-яких компаній елемент чистоти має особливе ...

Арендовать выделенный сервер: рекомендац

News image

В задаче по выбору хостеров у клиентов, в большинстве случаев, предусмотрен только один вариант панели управления. Конечно же, в данном вопросе нашлось место исключениям и ...

Инъекционное укрепление грунтов и фундам

News image

Строительство находится среди крупнейших сфер экономической деятельности людей во всем мире. Оптимизировать ряд задач по строительству инженеры стараются практически ежедневно. Наверное, все уже привыкли наблюдать ...