Главная - Астрономия - Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии


Сферический треугольник и основные формулы сферической тригонометрии
Наука - Астрономия

Многие задачи астрономии, связанные с видимыми положениями и движениями небесных тел, сводятся к решению сферических треугольников.

Сферическим треугольником называется фигура АВС на поверхности сферы, образованная дугами трех больших кругов (рис. 15).

Углами сферического треугольника называются двугранные углы между плоскостями больших кругов, образующих стороны сферического треугольника. Эти углы измеряются плоскими углами при вершинах треугольника между касательными к его сторонам.

Обычно рассматриваются треугольники, углы и стороны которых меньше 180±. Для таких сферических треугольников сумма углов всегда больше 180±, но меньше 540±, а сумма сторон всегда меньше 360±. Разность между суммой трех углов сферического треугольника и 180± называется сферическим избытком s , т.е.

s  = ETH;A +  ETH;B + ETH;C - 180±.

Площадь сферического треугольника s равна

,

где R - радиус сферы, на поверхности которой образован треугольник.

Сферический треугольник, таким образом, отличается по своим свойствам от плоского, и применять к нему формулы тригонометрии на плоскости нельзя.

Возьмем сферический треугольник АВС (рис. 15), образованный на сфере радиуса R и с центром в точке О.

Из вершины А проведем касательные AD и АЕ к сторонам b и с до пересечения их с продолжениями радиусов ОС и 0В, лежащих в одной плоскости с соответствующей касательной. Соединив прямой точки пересечения D и Е, получим два плоских косоугольных треугольника ADE и ODE с общей стороной DE. Применяя к этим треугольникам теоремы элементарной геометрии, напишем:

DE2 = OD2 + ОЕ2 - 2OD times; ОЕ times; cos a,

DE2 = AD2 + АЕ2 - 2AD times; АЕ times; cos A.

Вычитанием второго равенства из первого получим:

2OD times; ОЕ times; cos a = OD2 - AD2 + ОЕ2 -  АЕ2 + 2AD times; АЕ times; cos A.(1.31)

Из прямоугольных плоских треугольников ОАЕ и ОАD следует:

OD2 -  AD2 = R2;   OE2 -  AE2 = R2;

AD = R tg b ;   АЕ = R tg с ;

Подставив эти соотношения в формулу (1.31) и произведя соответствующие сокращения и переносы, получим

cos а = cos b cos с + sin b sin с cos A ,(1.32)

т.е. косинус стороны сферического треугольника равен произведению косинусов двух других его сторон плюс произведение синусов тех же сторон на косинус угла между ними.

Формулу (1.32) можно написать для любой стороны треугольника. Напишем ее, например, для стороны b:

cos b = cos с cos a + sin с sin a cos B

и, подставив в нее cos сх из формулы (1.32), получим

cos b = cos с (cos b cos с + sin b sin с cos A) + sin с sin a cos B.

Раскрыв скобки и перенеся первый член правой части в левую, будем иметь:

cos b (l - cos2 с) = sin b sin с cos с cos A + sin c sin a cos B.

Заменив (1 - cos2 с) на sin2 с и сократив все на sin c, окончательно получим sin a cos В = sinc cos b - cos c sin b cos A,(1.33)

т.е. произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла равняется

произведению синуса другой стороны, ограничивающей прилежащий угол, на косинус

третьей стороны минус произведение косинуса стороны, ограничивающей прилежащий

угол, на синус третьей стороны и на косинус угла, противолежащего первой

стороне.

Формула (1.33) называется формулой пяти элементов. Ее можно написать по аналогии и для произведений sin a cos С, sin b cos A, sin b cos С, sin с cos A и sin с cos В.

Решим теперь равенство (1.32) относительно cos A :

Возведя обе части последнего равенства в квадрат и вычтя их из 1, получим:

или

Раскрыв скобки и разделив обе части этого выражения на sin2 а, получим Полученное выражение совершенно симметрично относительно a, b и с, и заменяя A на В, а на b или A на С и а на с, напишем

откуда

т.е. синусы сторон сферического треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов; или отношение синуса стороны сферического треугольника к синусу противолежащего угла есть величина постоянная.

Три выведенных соотношения (1.32), (1.33), (1.34) между сторонами и углами сферического треугольника являются основными; из них можно получить много других формул сферической тригонометрии. Мы ограничимся выводом одной только формулы для прямоугольного сферического треугольника. Положим А = 90±; тогда sin А = 1, cos A = 0, и из формулы (1.33) получим

sin a cos В = sin с cos b.

Разделив обе части этого равенства на sin b и заменив на на , согласно (1.34), будем иметь:

ctg B = sin c ctg b

или

т.е. отношение тангенса одного катета прямоугольного сферического треугольника к тангенсу противолежащего угла равно синусу другого катета.

 


Читайте:


Добавить комментарий


Защитный код
Обновить

Планеты соседи:

Меркурий

News image

Меркурий - самая близкая к Солнцу планета. Среднее расстояние от Ме...

Меркурий. Исследование планеты

News image

Небольшая величина Меркурия и его постоянная близость к Солнцу делают эт...

Юпитер. Спутники

News image

Юпитер имеет 16 спутников. Первые 4 спутника открыты еще Галилеем - ...

Нептун. Общие сведения

News image

Нептун - восьмая по счету планета Солнечной системы. Средняя удаленность Не...

В космосе...

Космический мусор возвращается на Землю

News image

23 июля 2007 года астронавт Клейтон Андерсон (Clayton Anderson) отправил в свободный полет 635-килограммовый резервуар с токсичным жидким аммиаком. По ра...

Плутон стал плутоидом

News image

Плутон, который два года назад лишили статуса полноценной планеты, отныне получил название плутоид . Такое решение принял Международный астрономический со...

На Марсе найден след от астероида

News image

Американские специалисты обнаружили на Марсе вмятину огромного размера. Ранее она была скрыта огромной вулканической областью - нагорьем Фарсида . До настоящего мо...

Рейтинг пригодных для обитания мест Солнечной системы

News image

Астрофизик Абель Мендес из Университета Пуэрто Рико предложил новую систему оценки обитаемости космических тел. С ее помощью он составил список на...

Авторизация



Новости космонавтики:

Ремень на стиральную машину

News image

Почему на стиральной машине изнашивается ремень? Такая неисправность появляется по разнообразным причинам. Прежде всего, нужно сказать, что ремень невероятно быстро изнашивается в узких моделях. Подобное явление ...

Как обустроить аквариум для петушка?

News image

Каждый вид аквариумных рыбок требует оправленных условий содержания. К ним относят температуру воды, жесткость, уровень освещения и рацион питания. При обустройстве водоема для обитания аквариумного ...

Охранное предприятие

News image

Если вы решили выбрать охранную компанию, чтобы защитить ваш дом либо бизнес необходимо очень внимательно оценивать работу каждой организации. Когда выбираете охранное агентство, получается, что ...

Стабилизированная роза в колбе

News image

Самым популярным подарком в 2017-м году стали живые розы, помещенные под стеклянную колбу. Сейчас мы немного расскажем, что такое стабилизированные цветы и в чем заключается их...